Юрій народився в Трускавці.
Забезпечував проведення оперативно-розшукових заходів, збору та узагальнення даних обстановки на ділянці відповідальності з метою запобігання провокацій та диверсійної діяльності з боку незаконних збройних формувань. Виконував бойові завдання в Маріуполі.
Юрій був заступником начальника Донецького прикордонного загону, загинув 12 травня 2022 року під час штурму "Азовсталі", героїчно захищаючи свою землю від окупантів.
Мужньому захиснику було 42 роки, одружений, виховував двох доньок. У Трускавці залишились його батьки, які, наразі, не зможуть провести чин поховання єдиного сина на малій батьківщині. Станом на грудень 2025 року тіла військовослужбовця досі не знайшли.
«Він завжди був відданим українцем. Єдиний у класі носив значок з тризубом. Завжди був активним і часто на перших ролях у школі», – сказала дружина.
12 травня 2022 у храмі Святого Миколая у Трускавці відбулася Служба Божа за упокій душі Юрія Куцука – незламного Героя України, який віддав життя за оборону своєї держави, своїх побратимів, усіх нас!
Воїна посмертно нагородили орденом «За мужність» III ступеня. У Трускавці на меморіалі полеглим захисникам встановили дошку в його пам’ять.